Domače naloge iz Matematične fizike II 2013/2014

1

Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperatura v kocki ? Kakšna je časovna odvisnost toplotnega toka iz kocke in porazdelitev toka po površini ?

2

Enakomerno segreto polkroglo vržemo v hladno vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperatura v polkrogli ? Kakšna je časovna odvisnost toplotnega toka iz polkrogle in porazdelitev toka po površini ?

3

Z variacijsko metodo ugotovi lastne frekvence osnovnega in nekaj vzbujenih lastnih nihanj opne, vpete na okvir v obliki enakostraničnega romba. Koliko se frekvence ločijo od lastnih frekvenc kvadratne opne ?

4

Enakomerno segret tetraeder vržemo v hladnejšo vodo. Z variacijsko metodo določi karakteristični čas ohlajanja tetraedra po dolgem času. Primerjaj ga s ustreznim časom za kroglo z enakim volumnom !

5

Z variacijsko metodo ugotovi lastne frekvence osnovnega lastnega nihanja vpete eliptične opne. Koliko se frekvenca loči od okrogle opne iste površine ?

6

Kroglo, napolnjeno z viskozno tekočino, vrtimo enakomerno okoli simetrijske osi. Kako se ustavlja tekočina znotraj krogle po hipni ustavitvi vrtenja ? Izračunaj časovno odvisnost navora v osi !

7

Obravnavaj enodimenzionalno gibanje kvantnega delca v periodičnem potencialu, ki ga predstavlja zaporedje delta funkcij. Za račun Greenove funkcije uporabi metodo razvoja po lastnih funkcijah !

8

Kvantni delec z določeno energijo je v enakomernem potencialu. Potencial se hipoma spremeni v sinusno moduliranega (primer ustreza eksperimentom z optičnimi mrežami hladnih atomov). Kako se spreminja s časom spreminja elektronska gostota po vključitvi potenciala. Uporabi metodo razvoja po lastnih funkcijah !

9

Razsežna vertikalna plošča miruje v viskozni tekočini med dvema enako oddaljenima stenama posode. Plošča začne padati s stalno hitrostjo. Kakšen je časovni potek hitrostnega profila v tekočini okoli plošče ? Določi časovni potek sile, ki deluje na ploščo ! Kako je ta odvisna od velikosti posode ?

10

Ravno zvočno valovanje pada na dolgo ravno žico. Izračunaj diferencialni in totalni sipalni presek. Kako je ta odvisen od valovne dolžine zvoka !

11

Izračunaj diferencialni in totalni presek za sipanje kvantnega delca na krogelni potencialni jami končne globine. S pomočjo metode Greenovih funkcij razstavi sipalne prispevke na različne rede sipanja !

12

Obravnavaj sipanje kvantnega delca na kroglastem zelo odbojnem potencialu (trda sredica). Izračunaj diferencialni in totalni presek za različne valovne dolžine valovanja ! Kakšno je obnašanje za kratke valovne dolžine (klasična limita) ?

13

Določi lastna nihanja tankega elastičnega obroča !

14

Tanek elastični obročzačnemo točkovno potiskati s stalno silo. Kakšen je časovni potek deformacije obroča in kakšno je gibanje njegovega težišča ?

15

Električna žica končnega radija je položena v toplotno slabo prevodno snov. Po žici spustimo stalen električni tok, ki segreva žico in snov. Kako se s časom spreminja temperatura ? Kako lahko odtod določimo toplotno prevodnost snovi ?

16

Točkast naboj se nahaja v ozemljeni prevodni kovinski kockasti škatli. Lega naboja je izven centra v smeri središča stranice. Izračunaj krajevno odvisnost potenciala (Greenovo funkcijo) in porazdelitev induciranega naboja na površini škatle. Potencial računaj kot vsoto singularnega in regularnega dela. Kakšna je sila na naboj ? Poskusi tudi z metodo zrcaljenja.

17

Dolga nabita ravna žica se nahaja v ozemljeni prevodni cevi s kvadratnim presekom. Lega žice je izven centra cevi v smeri diagonale cevi. Izračunaj krajevno odvisnost potenciala (Greenovo funkcijo) in porazdelitev induciranega naboja na površini cevi. Potencial računaj kot vsoto singularnega in regularnega dela. Kolikšna je sila na žico ? Poskusi tudi z metodo zrcaljenja.

18

V kvadratno opno je vpeta struna. Kako so lastna nihanja opne odvisna od napetosti strune ?

19

Dva kvantna delca sta v neskončni potencialni jami. Med njima je privlačna harmonična sila. Z variacijsko metodo ugotovi, kako sta osnovno in prvo vzbujeno stanje odvisni od parametrov modela.

20

Elektron se nahaja v privlačnem potencialu dveh enakih točkastih pozitivnih nabojev (model iona molekule $H_2^+$). Z variacijsko metodo poišči osnovno in prvo vzbujeno lastno stanje elektrona za različne razdalje med ionoma.

21

Sferičen balon, napolnjen s plinom se giblje s konstantno hitrostjo. Gibanje hipoma ustavimo. Kako zaniha plin v krogli po ustavitvi ? Kako se s časom spreminja tlak v sredini balona ?

22

Dva, zaradi lastnega vrtenja sploščena planeta, se gibljeta pod vplivom medsebojne privlačne gravitacijske sile. Kakšen je njuna potencialna energija ? Obravnavaj njuno gibanje v približku kvadrupolnega gravitacijsega potenciala. Koliko odstopa njuno gibanje od krožnice ?

23

Cev končne debeline iz toplotno prevodnega materiala je na zunanji strani delno obložena s toplotno izolacijo (izolacija ne obsega cel obod) in položena v hladnejšo tekočino stalne temperature. Po cevi teče vroča tekočina. Izračunaj porazdelitev temperature v cevi. Kako je toplotni tok iz cevi odvisen od kota izolacije ?

24

V homogeni polkrogli so enakomerno razporejeni radioaktivni izvori, ki segrevajo telo, ki je na konstantni zunanji temperaturi. Kakšna je porazdelitev temperature v polkrogli v stacionarnem stanju ? Kje je najvišja temperatura ? Kakšna je časovna odvisnost segrevanja po začetku radioaktivnih razpadov ?

25

Izračunaj potencial dolge enakomerno nabite žice s kvadratnim presekom. Uporabi multipolni razvoj. Kakšne so vezane orbite nabitega točkastega delca okoli žice ? Koliko odstopajo od kroga ?

26

Kocka je sestavljena iz osmih enakomeno nabitih kock dveh različnih gostot naboja. Različni deli si sledijo izmenoma. Izračunaj multipolne popravke potenciala. Kako odstopa orbita točkastega naboja od krožnice ?

27

Glavna sloja Zemlje sta tekoča sredica in trden plašč(upoštevaj ga kot homogeno izotropno sredstvo). Izračunaj lastne frekvence radialnih nihanj Zemlje. Kdaj velja žarkovni približek geometrijske optike ?

28

Votlo kroglo (podana sta zunanji in notranji radij) prerežemo na polovico ter dobljeno (izdolbeno) polkroglo postavimo v stik s toplotnim rezervoarjem na stalni temperaturi. Krogla se hipoma začne segrevati zaradi toplotnih izvirov s konstantno gostoto. Izračunaj, kako se spreminja s časom temperaturna porazdelitev v polkrogli.

29

Votlo kroglo (podana sta zunanji in notranji radij) prerežemo na polovico ter dobljeno (izdolbeno) polkroglo postavimo v stik s toplotnim rezervoarjem na stalni temperaturi. Krogla se hipoma začne segrevati zaradi toplotnih izvirov, ki so homogeno razporejeni v radialni plasti dane debeline. Izračunaj, kako se spreminja s časom temperaturna porazdelitev v polkrogli.

30

Poišči stacionarno temperaturno porazdelitev v krogelni lupini, če sta notranja in zunanja površina na različnih stalnih temperaturah, toplotna prevodnost pa je odvisna od kota, npr. sinusno.