1

Domače naloge iz Matematične fizike II

2004/05

Model ležaja: prostor med dvema koncentričnima valjema je izpolnjen z viskozno tekočino. Kako se giblje tekočina, kadar se notranji valj skupaj s pokrovom in dnom vrti s stalno kotno hitrostjo. Ali obstaja rešitev, v kateri ima stacionarna hitrost samo tangencialno smer? Za nekaj vrednosti razmerja radijev in razmerja med višino in radijem prikaži hitrostni profil, za ves prostor razmerij določi navor na vrteči se valj ali, če ta ni končen, za podobno primerno definirano količino.

Podobna naloga kot zgornja, za ležaj, v katerem se vrti zunanji valj skupaj s pokrovom.

Ali obstaja rešitev s stacionarno tangencialno hitrostjo v krogelni simetriji? Primer: viskozna tekočina v mirujoči krogelni lupini, pokrov v obliki krogelne kapice se vrti s stalno kotno hitrostjo. Kako je hitrostni profil odvisen od središčnega kota kapice?

Ali je mogoče najti stacionarni tok viskozne tekočine v krogli brez tangencialne komponente? Primer: na enem polu krogle je majhen izvir tekočine, na drugem polu majhen ponor. (Verjetno obstaja neskončna množica takih tokovnih slik.).

Podobno kot v prejšnji nalogi za zunanji tok viskozne tekočine: obtekanje krogle z izvirom in ponorom v neskončnem sredstvu.

Ali je mogoče v računu za nalogo #2 najti rešitev, ki ima poleg tangencialne hitrosti še majhno (stacionarno) primes v drugih smereh? (Napravi podoben račun kot v teoriji Lorentzovega atraktorja – opis Benardovih vrtincev.)

Problem lastnih funkcij in lastnih vrednosti za področje, v katerem rešitev ni razcepna, lahko iščemo numerično: področje razdelimo z (enakomerno) mrežo in za vsako vozlišče zapišemo diferencialno enačbo v diferenčni obliki (metoda končnih diferenc). Tako dobimo homogen sistem linearnih enačb, rezultat so lastne vrednosti matrike sistema. Poskusi za področje v obliki črke L, ki je zloženo iz treh kvadratov. Na mejah velja robni pogoj I.vrste.

Kako se spreminjajo lastne frekvence lika iz prejšnje naloge, če polnemu kvadratu postopoma izrezujemo kvadratek ob enem oglišču, da pridemo zvezno do lika L? Zasleduj frekvence analognih nihajnih načinov.

Podoben problem kot v nal. 10 v 3 D: lastne frekvence zvočnega resonatorja, ki je prostor med dvema koncentričnima kockama z razmerjem stranic 3:1.

Kako se spremenijo lastne frekvence krožne opne, če majhen del opne okoli središča priščipnemo, da miruje? Ali se da v limiti, ko gre velikost ovire proti nič, uganiti splošni rezultat? Poskusi najti rešitev v prvem redu s pomočjo Galerkinove metode, kjer lahko majhno okroglo oviro postavimo na poljubno mesto na okrogli opni. Poskusne funkcije lahko zgradimo iz točnih rešitev polne okrogle opne.

S podobnim trikom lahko potem določimo tudi učinek majhne okrogle ovire na kvadratni opni.

Z metodo končnih diferenc iz naloge #10 pa lahko določimo učinek majhne kvadratne ovire na kvadratni opni.

Mreža v metodi končnih diferenc je lahko sestavljena tudi iz drugačnih likov: uporabi mrežo iz enakostraničnih trikotnikov (mrežo s heksagonalno simetrijo) za določitev lastnih nihanj trikotne opne z majhno oviro.

Galerkinovo metodo uporabi za določitev zvočnih lastnih nihanj v stožčasti votlini. Rotacijsko simetrijo vključi eksaktno, tako da ostane še 2D problem v ravnini r-z.

Podobna naloga kot zgoraj: lastna nihanja v stožčasti domeni z robnim pogojem I. vrste.

Ker je eksaktna rešitev na domeni, ki ima obliko (stožčastega) krogelnega izseka, razmeroma nerodna, utegne biti Galerkinova pot (kakor zgoraj) udobnejša. Poišči nekaj najnižjih lastnih nihanj za zvočni resonator v taki obliki.

Problem lastnih vrednosti na domeni krogelne kapice ni analitično rešljiv. Podobno kot v nalogah #19 in #21 poišči Galerkinovo rešitev za zvočni resonator v tej obliki.

Problem lastnih frekvenc zvočnega resonatorja v obliki krogelnega oktanta je eksaktno rešljiv. S primerjavo ugotovi natančnost rešitev po Galerkinu!

Določi lastne frekvence zvočnih nihanj v toroidni votlini. Kako je zaporedje nihajnih načinov odvisno od razmerja obeh torusovih radijev.

Emisija zvoka: poznamo rešitev za »točkasti« sevalec zvoka, n.pr. utripajočo kroglico. Za razsežne sipalce lahko dobimo (približno) rešitev s sestavljanjem majhnih sevalcev. Kako seva okrogla opna, ki niha v prvem višjem nihajnem načinu? Opno nadomestimo z velikim številom dipolnih sevalcev. Določi kotno sliko izsevane moči in sevalno dušenje.

Na razsežno prožno opno postavimo tri majhne sevalce v enakih medsebojnih razdaljah, ki so še vedno majhne v primeri z valovno dolžino izsevanega vala. Sevalci so med seboj fazno premaknjeni kot komponente trifaznega toka. Kakšna je kotna slika izsevanega vala? (Polje premaknjenega sevalca lahko razvijemo v multipolno vrsto – glej knjigo.)

Prostor med dvema togima koncentričnima krogelnima lupinama je izpolnjen z viskozno tekočino. Zunanja krogla začne sučno nihati z majhno amplitudo in stalno frekvenco. Kako se giblje notranja lupina?

In še podobna naloga za valjasti lupini, kjer zunanjo lupino začnemo zibati z majhno amplitudo in stalno frekvenco vzdolž skupne osi.

Na kovinski krogelni lupini je majhen toplotni izvir, katerega temperatura sinusno niha okoli stalne srednje vrednosti. Kakšno je temperaturno polje na lupini?

Nalogi #31 in #32 z nihajočim tangencialnim hitrostnim poljem v viskozni tekočini sta zanimivi tudi v neskončnem sredstvu: krožni disk sučno niha okrog svoje osi v razsežni viskozni tekočini. Kakšno je hitrostno polje?

Podobna naloga za kroglo, katere polkrogli sučno nihata z enako amplitudo in stalno frekvenco v nasprotnih smereh.

Podobna naloga za obroč (torus), ki v viskozni tekočini sučno niha okrog svoje osi.

Polje dolge ravne nabite žice je logaritemski potencial. Za malo večje razdalje je tako tudi polje žice, ki nima krožnega preseka (Gaussov stavek), le da tedaj ne poznamo vrednosti potenciala na površini žice. Določi ta potencial (in razporeditev naboja po površini) za žico s kvadratnim presekom!